معماهای سخت ریاضی با جواب

معمای اول

هر یک از اعداد 1 تا 30 را بر روی 30 گوی یکسان نوشته در کیسه ای قرار می دهیم. حداقل چند گوی بیرون آوریم تا به طور یقین دست کم دو عدد با مقسوم علیه مشترک بزرگتر از 1 داشته باشیم؟

1) 10

2) 11

3) 12

4) 13

توجه کنید بدترین حالت وقتی اتفاق می افتد که همه اعداد بیرون آمده نسبت به هم اول باشند.

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

• •••

جواب معمای ریاضی : گوی های شماره گذاری شده

بدترین حالت وقتی اتفاق می افتد که همه اعداد بیرون آمده نسبت به هم اول باشند، یعنی همه اعداد اول کوچک تر از 30 و همچنین عدد 1، به عبارت بهتر مجموعه ی {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. هر عدد دیگری به جز اعضای این مجموعه انتخاب کنیم، حتما با حداقل یکی از اعضای این مجموعه مقسوم علیه مشترک بزرگتر از یک دارد، پس باید حداقل 11 + 1 یعنی 12 عدد انتخاب شود.

معمای دوم

فرض کنید تعدادی سنگ‌ریزه روی میز است. دو نفر باهم این بازی را ‎(نوبتی)‎ انجام می‌دهند:

هرکس در نوبت خودش می‌تواند ‎d‎ سنگ‌ریزه از روی میز بردارد، به‌ این شرط که تعداد سنگ‌ریزه‌های روی میز بر‎d ‎ بخش‌پذیر باشد و از ‎d‎ بزرگ‌تر باشد. هر کس با حرکتش باعث شود ‎1‎ سنگ‌ریزه باقی بماند برنده می‌شود. اگر تعداد سنگ‌ریزه‌های اولیه در ‎9‎ بازی انجام شده به‌ترتیب 3٬2،… و ‎10‎ باشد، در چند تا از این بازی‌ها نفر اول می‌تواند برنده شود؟

الف) 3

  ب) 4

  ج) 5

   د) 6

 هـ) 7

پاسخ معمای المپیادی: بازی با سنگ ریزه ها

گزینه (ج) درست است.

کسی که در نوبتش با 2 سنگ‌ریزه روبه‌رو شود یکی از آن دو را برداشته و برنده می‌شود. بنابراین به ازای n=2 نفر اول برنده می‌شود. به ازای n=3 نفر اول به نا‌چار 1 سنگ‌ریزه برداشته و نفر دوم با 2 سنگ‌ریزه مواجه شده و برنده می‌شود. به‌ازای n=4 نفر اول 1 سنگ‌ریزه برداشته و نفرد دوم با 3 سنگ‌ریزه مواجه شده و بازنده می‌شود. به ازای n=5 نفر اول 1 سنگ‌ریزه برداشته و نفر دوم با 4 سنگ‌ریزه مواجه شده و برنده می‌شود. به همین ترتیب معلوم می‌شود که اگر تعداد سنگ‌ریزه‌ها زوج باشد نفر اول و در غیر این صورت نفر دوم برنده خواهد شد.