معماهای سخت ریاضی با جواب
معمای اول
هر یک از اعداد 1 تا 30 را بر روی 30 گوی یکسان نوشته در کیسه ای قرار می دهیم. حداقل چند گوی بیرون آوریم تا به طور یقین دست کم دو عدد با مقسوم علیه مشترک بزرگتر از 1 داشته باشیم؟
1) 10
2) 11
3) 12
4) 13
توجه کنید بدترین حالت وقتی اتفاق می افتد که همه اعداد بیرون آمده نسبت به هم اول باشند.
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
-
•••
جواب معمای ریاضی : گوی های شماره گذاری شده
بدترین حالت وقتی اتفاق می افتد که همه اعداد بیرون آمده نسبت به هم اول باشند، یعنی همه اعداد اول کوچک تر از 30 و همچنین عدد 1، به عبارت بهتر مجموعه ی {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. هر عدد دیگری به جز اعضای این مجموعه انتخاب کنیم، حتما با حداقل یکی از اعضای این مجموعه مقسوم علیه مشترک بزرگتر از یک دارد، پس باید حداقل 11 + 1 یعنی 12 عدد انتخاب شود.
معمای دوم
فرض کنید تعدادی سنگ‌ریزه روی میز است. دو نفر باهم این بازی را (نوبتی) انجام می‌دهند:
هرکس در نوبت خودش می‌تواند d سنگ‌ریزه از روی میز بردارد، به این شرط که تعداد سنگ‌ریزه‌های روی میز برd بخش‌پذیر باشد و از d بزرگتر باشد. هر کس با حرکتش باعث شود 1 سنگ‌ریزه باقی بماند برنده می‌شود. اگر تعداد سنگ‌ریزه‌های اولیه در 9 بازی انجام شده به‌ترتیب 3٬2،… و 10 باشد، در چند تا از این بازی‌ها نفر اول می‌تواند برنده شود؟
الف) 3
ب) 4
ج) 5
د) 6
هـ) 7
پاسخ معمای المپیادی: بازی با سنگ ریزه ها
گزینه (ج) درست است.
کسی که در نوبتش با 2 سنگ‌ریزه روبه‌رو شود یکی از آن دو را برداشته و برنده می‌شود. بنابراین به ازای n=2 نفر اول برنده می‌شود. به ازای n=3 نفر اول به نا‌چار 1 سنگ‌ریزه برداشته و نفر دوم با 2 سنگ‌ریزه مواجه شده و برنده می‌شود. به‌ازای n=4 نفر اول 1 سنگ‌ریزه برداشته و نفرد دوم با 3 سنگ‌ریزه مواجه شده و بازنده می‌شود. به ازای n=5 نفر اول 1 سنگ‌ریزه برداشته و نفر دوم با 4 سنگ‌ریزه مواجه شده و برنده می‌شود. به همین ترتیب معلوم می‌شود که اگر تعداد سنگ‌ریزه‌ها زوج باشد نفر اول و در غیر این صورت نفر دوم برنده خواهد شد.
